Selecciona todas las expresiones que son cuadrados perfectos. Explica cómo lo sabes.
12.2
Activity
Construyamos cuadrados perfectos
Standards Alignment
Building On
Addressing
A-SSE.2
Use the structure of an expression to identify ways to rewrite it. For example, see x4 — y4 as (x²)² — (y²)², thus recognizing it as a difference of squares that can be factored as (x² — y²)(x² + y²).
Use the method of completing the square to transform any quadratic equation in x into an equation of the form (x - p)² = q that has the same solutions. Derive the quadratic formula from this form.
Completa la tabla para que en cada fila haya expresiones equivalentes que sean cuadrados perfectos.
forma estándar
forma factorizada
12.3
Activity
Primeros pasos completando el cuadrado
Standards Alignment
Building On
Addressing
A-REI.4.a
Use the method of completing the square to transform any quadratic equation in x into an equation of the form (x - p)² = q that has the same solutions. Derive the quadratic formula from this form.
Solve quadratic equations by inspection (e.g., for x² = 49), taking square roots, completing the square, the quadratic formula and factoring, as appropriate to the initial form of the equation. Recognize when the quadratic formula gives complex solutions and write them as a ± bi for real numbers a and b.
Hay una técnica para solucionar ecuaciones cuadráticas llamada completar el cuadrado. Estos son dos ejemplos de cómo Diego y Mai completaron el cuadrado para solucionar la misma ecuación.
Diego:
Mai:
Estudia los ejemplos. Después, soluciona estas ecuaciones completando el cuadrado:
Student Lesson Summary
Convertir una expresión en un cuadrado perfecto puede ser una buena manera de solucionar una ecuación cuadrática. Supongamos que queremos solucionar .
La expresión al lado izquierdo, , no es un cuadrado perfecto, pero es un cuadrado perfecto. Transformemos ese lado de la ecuación en un cuadrado perfecto, manteniendo la igualdad entre los dos lados.
Una manera útil de empezar es apartar la constante. Restemos 10 a cada lado:
Después, sumemos 49 a cada lado:
La expresión al lado izquierdo ahora es un cuadrado perfecto porque es equivalente a o a . Reescribamos la ecuación:
Si un número elevado al cuadrado es 9, el número tiene que ser 3 o -3. Para terminar resolvamos:
Este método de solución de ecuaciones cuadráticas se llama completar el cuadrado. En general, los cuadrados perfectos escritos en forma estándar se ven así: . Por esto, para completar el cuadrado, se toma la mitad del coeficiente del término lineal y se eleva al cuadrado.
En el ejemplo, la mitad de -14 es -7 y es 49. Queríamos hacer que el lado izquierdo fuera Para que la ecuación siga siendo verdadera y se mantenga la igualdad entre los dos lados de la ecuación, sumamos 49 a cada lado.
Glossary
completar el cuadrado
Completar el cuadrado es un método para reescribir una expresión o ecuación cuadrática.
Una expresión cuadrática se reescribe en la forma , donde , y son constantes y
Una ecuación cuadrática se reescribe en la forma .
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Use the structure of an expression to identify ways to rewrite it. For example, see x4 — y4 as (x²)² — (y²)², thus recognizing it as a difference of squares that can be factored as (x² — y²)(x² + y²).
Solve quadratic equations by inspection (e.g., for x² = 49), taking square roots, completing the square, the quadratic formula and factoring, as appropriate to the initial form of the equation. Recognize when the quadratic formula gives complex solutions and write them as a ± bi for real numbers a and b.
