Reescribamos expresiones cuadráticas en forma factorizada (parte 1)
Álgebra 1
6.1
Warm-up
Acertijos de rectángulos
Estos son dos acertijos que incluyen longitudes de lados y áreas de rectángulos. ¿Puedes encontrar el área desconocida de la figura A y la longitud desconocida de la figura B? Prepárate para explicar tu razonamiento.
Figura A
A composite figure made up of a square and 2 rectangles. The square has side lengths of 8 inches. It is 5 inches from the far edge of the second rectangle. The square and first rectangle are 10 inches in height together. The first rectangle is marked with question mark square inches. The second rectangle is 4 inches high and 3 inches wide.
Figura B
A composite figure made up of three rectangles. The first rectangle with an area of 36 square inches is on top of another and is taller than it is wide. The first rectangle is 3 inches from the edge of the second rectangle. The second rectangle with an area of 60 square inches, is wider than it is tall. The width of the second rectangle is 12 inches. The third rectangle of 48 square inches is taller than it is wide. It is 3 inches longer than the second rectangle. The first rectangle is 11 inches from the far edge of the third rectangle.
6.2
Activity
Usemos diagramas para entender expresiones equivalentes
Standards Alignment
Building On
Addressing
Building Toward
A-REI.4.b
Solve quadratic equations by inspection (e.g., for x² = 49), taking square roots, completing the square, the quadratic formula and factoring, as appropriate to the initial form of the equation. Recognize when the quadratic formula gives complex solutions and write them as a ± bi for real numbers a and b.
Compara el diagrama de y el diagrama incompleto de para determinar los valores de y .
¿Qué te indica la esquina inferior derecha sobre la relación entre el término constante, 8, y las partes que faltan de los factores, y ?
¿Cuál es la relación entre el término lineal, , y las dos secciones del diagrama que tienen una raya? ¿Cómo se relacionan con y ?
Encuentra valores para y , y reescribe en forma factorizada.
Reescribe estas expresiones cuadráticas en forma factorizada. Mientras trabajas, considera cómo los valores de los términos constantes y lineales son útiles para decidir los valores de y .
6.3
Activity
¡Reescribamos expresiones!
Standards Alignment
Building On
Addressing
A-SSE.2
Use the structure of an expression to identify ways to rewrite it. For example, see x4 — y4 as (x²)² — (y²)², thus recognizing it as a difference of squares that can be factored as (x² — y²)(x² + y²).
Solve quadratic equations by inspection (e.g., for x² = 49), taking square roots, completing the square, the quadratic formula and factoring, as appropriate to the initial form of the equation. Recognize when the quadratic formula gives complex solutions and write them as a ± bi for real numbers a and b.
Cada fila de la tabla debe tener un par de expresiones equivalentes.
Completa la tabla con las expresiones que faltan. Si tienes dificultades, puedes dibujar un diagrama.
forma factorizada
forma estándar
Student Lesson Summary
Anteriormente, aprendiste cómo desarrollar una expresión cuadrática escrita en forma factorizada y escribirla en forma estándar aplicando la propiedad distributiva.
Por ejemplo, para desarrollar , aplicamos la propiedad distributiva multiplicando por y 4 por . Luego, aplicamos de nuevo la propiedad distributiva multiplicando por , por 5, 4 por y 4 por 5.
Para llevar un registro de todos los productos, podemos hacer un diagrama como este:
Después, podemos escribir dentro de los espacios los productos de cada pareja:
El diagrama nos ayuda a ver que es equivalente a , o en forma estándar, .
Eltérmino lineal, o el término con un solo factor de en la forma estándar de la expresión cuadrática, es y tiene un coeficiente de 9, que es la suma de 5 y 4.
El término constante, 20, es el producto de 5 y 4.
Podemos usar estas observaciones para hacer lo contrario: comenzar con una expresión escrita en forma estándar y escribirla en forma factorizada.
Por ejemplo, supongamos que queremos escribir en forma factorizada la expresión .
Primero hagamos un diagrama y ubiquemos los términos y 24.
Necesitamos encontrar dos números que multiplicados den 24 y sumados den -11.
Después de pensarlo un poco, vemos que -8 y -3 cumplen esas condiciones. El producto de -8 y -3 es 24. La suma de -8 y -3 es -11.
Entonces, se escribe como en forma factorizada.
Glossary
término lineal
El término lineal de una expresión tiene una variable elevada a la primera potencia.
En la expresión , el término lineal es .
En la expresión , el término lineal es .
En la expresión , donde , y son constantes, el término lineal es .
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Find the area of right triangles, other triangles, special quadrilaterals, and polygons by composing into rectangles or decomposing into triangles and other shapes; apply these techniques in the context of solving real-world and mathematical problems.
Solve quadratic equations by inspection (e.g., for x² = 49), taking square roots, completing the square, the quadratic formula and factoring, as appropriate to the initial form of the equation. Recognize when the quadratic formula gives complex solutions and write them as a ± bi for real numbers a and b.
Use the structure of an expression to identify ways to rewrite it. For example, see x4 — y4 as (x²)² — (y²)², thus recognizing it as a difference of squares that can be factored as (x² — y²)(x² + y²).